CH01 绪论框架

  • 本章目标
    1. 了解CFD发展、现状及地位
    2. 掌握CFD基本环节
    3. 思考CFD未来方向

§1.1 流体力学与计算流体力学的发展

流体力学发展四阶段

  1. 萌芽阶段（16世纪前）
    • 代表：阿基米德
  2. 独立学科基础（16世纪文艺复兴–18世纪中叶）
    • 代表：达芬奇、牛顿
  3. 两大方向形成（18世纪中叶–19世纪末）
    • 理论派：欧拉
    • 实验派：伯努利
  4. 飞速发展（19世纪末至今）
    • 推动力：航空航天、计算机

计算流体力学（CFD）发展三阶段

  1. 初创阶段（1920s–1960s）
    • Richardson (1922)：首个天气数值模拟系统（有限差分法）
    • Courant-Friedrichs-Lewy (1928)：稳定性分析奠基
    • 早期应用：Thom (1933) 圆柱绕流、Kawaguti (1953) NS方程求解
  2. 走向工程阶段（1970s–1990s）
    • Spalding团队：SIMPLE算法、湍流k-ε模型、PHOENICS软件
    • 标志性软件：Tempest (FLUENT原型)
    • 首部专著：Roache《Computational Fluid Dynamics》(1976)
  3. 大规模应用阶段（1990s至今）
    • 算法突破：
      • 矢通量分裂 (Steger-Warming, Van Leer)
      • TVD格式 (Harten)、ENO/WENO格式 (Liu/Osher/Jiang-Shu)
      • NND格式 (张涵信)、AUSM格式 (Liou)
    • 商业软件兴起：FLUENT, CFX, OpenFOAM
    • 硬件发展：计算速度提升亿倍（E级计算），TOP500超算榜单

CFD发展特征总结

  • 依赖计算机硬件
  • 以工程应用为牵引
  • 多学科交叉的新兴学科

§1.2 计算流体力学的“WWW”

What is CFD?

  • 核心要素：
    • 流体物理 + 数学控制方程（如NS方程）
    • 数值方法 → 离散形式
    • 几何模型 → 网格生成 → 计算程序 → 模拟结果

Why use CFD?

  • 理论流体力学局限：方程难求解，工业应用少
  • 实验流体力学局限：缩比效应、全尺寸试验难、环境模拟不完整
  • CFD优势：参数灵活控制、全尺寸模拟、成本低

Where is CFD used?

领域 应用案例
航空航天 飞行器气动设计（波音787风洞实验仅3次）、发动机燃烧模拟、旋翼流动模拟
航海舰船 船舶横风分析、潜艇噪声优化、螺旋桨效率提升
轨道交通 高铁减阻、隧道入口效应、横风干扰
汽车工业 F1赛车流场优化、量产车经济性设计、风噪分析
建筑环境 建筑群风载评估、室内通风模拟
天气预报 大气运动数值模拟（依赖气象观测初值）
能源化工 泵/换热器优化、风力涡轮机设计
生物医学 血液流动模拟（非牛顿流体）、病毒传播路径、仿生学研究（翅膀/鱼类游动）
体育竞技 高尔夫球轨迹、游泳阻力分析、自行车轮空气动力学

§1.3 计算流体力学建模

五大建模环节

  1. 几何模型
    • 工具：CAD/CAE软件（AutoCAD, ANSYS, Abaqus）
  2. 坐标系模型
    • 类型：笛卡尔、柱坐标、球坐标系（简化问题）
  3. 物理模型
    • 流动分类：无黏/有黏、层流/湍流、可压缩/不可压缩、内流/外流
  4. 控制方程
    • 核心方程：质量守恒、动量守恒、能量守恒方程
  5. 初边值条件
    • 初始条件：不影响最终结果，仅影响收敛速度
    • 边界条件：壁面（无滑移/自由滑移）、周期性、入口/出口、无反射边界

§1.4 数值计算方法

离散方法

方法 特点 代表
有限差分法(FDM) 简单成熟、易高精度；复杂网格适应性差 Richardson (1910), Thom (1933)
有限体积法(FVM) 控制体形状灵活、守恒性好；高阶精度复杂 Evans & Harlow (1957)
有限元法(FEM) 扩散问题精度高；流体求解慢，多用于固体力学 Courant (1943)
谱方法 高精度但计算成本高

网格技术

  • 类型：
    • 结构网格（FDM常用）
    • 非结构/混合网格（FVM/FEM适用）
  • 网格变换：物理平面(x,y,z)(x,y,z) ↔ 计算平面(ξ,η,ζ)(\xi,\eta,\zeta)

求解器与后处理

  • 求解算法：
    • 直接法（Gauss消去、LU分解）
    • 迭代法（Jacobi、Gauss-Seidel）
  • 后处理：
    • 导出量计算（力/力矩/剪应力）
    • 可视化：等值线、矢量图、流线动画

可信度评估

  • 验证 (Verification)：数值解准确性（代码/离散误差）
  • 确认 (Validation)：模型物理正确性（与实验对比）

§1.5 CFD模拟的未来

  1. 多学科融合
    • 流体-固体/热/噪声/电磁耦合（如飞机气动弹性分析）
  2. 分区求解技术
    • 多软件协同（例：直升机模拟耦合SAMCart/FUN3D/OVERFLOW）
  3. 机器学习
    • 应用：湍流模型优化、气动数据建模、雷诺应力修正
  4. 云计算
    • 低成本按需计算（例：OpenFOAM 0.11元/核心时）
  5. 虚拟/增强现实
    • CFD+VR场景可视化（如STAR-COM+VR平台）
  6. 交互式仿真
    • 实时设计优化（如ANSYS Discovery Live）

CH02 流体力学控制方程及其分类

§2.1 计算流体力学控制方程

1. 流体力学基本方程

  • 三大物理定律：
    • 质量守恒：∂ρ∂t+∇⋅(ρU)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{U}) = 0
    • 动量守恒（牛顿第二定律）：ρDUDt=ρf−∇p+∇⋅τ\rho \frac{D\mathbf{U}}{Dt} = \rho \mathbf{f} - \nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}
    • 能量守恒（热力学第一定律）：∂Et∂t+∇⋅[(Et+p)U]=ρf⋅U−∇⋅q+∇⋅(τ⋅U)\frac{\partial E_t}{\partial t} + \nabla \cdot [(E_t + p)\mathbf{U}] = \rho \mathbf{f} \cdot \mathbf{U} - \nabla \cdot \mathbf{q} + \nabla \cdot (\boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{U})

2. 流体描述方法

  • 欧拉法：
    • 固定控制体，研究空间点物理量随时间变化。
    • 控制体形状不变，内部流体可变，与外界有质量/动量/能量交换。
  • 拉格朗日法：
    • 跟踪流体微团，研究其物理量随时间变化。
    • 系统质量不变，形状可变，边界与外界有力/能量交换。

3. 控制方程的四种形式

形式 连续方程示例 特点
积分守恒形式 ∂∂t∭VρdV+∬SρU⋅dS=0\frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \rho dV + \iint_S \rho \mathbf{U} \cdot d\mathbf{S} = 0 固定控制体，适用于有限体积法
微分守恒形式 ∂ρ∂t+∇⋅(ρU)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{U}) = 0 空间无限小微元
积分非守恒形式 DDt∭VρdV=0\frac{D}{Dt} \iiint_V \rho dV = 0 随流体运动的有限控制体
微分非守恒形式 DρDt+ρ∇⋅U=0\frac{D\rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \mathbf{U} = 0 随流体运动的无限小微元

4. 物质导数

  • 定义：DϕDt=∂ϕ∂t+U⋅∇ϕ\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{U} \cdot \nabla \phi
    • 物质导数：运动流体微团的物理量变化率。
    • 局部导数：固定空间点的物理量时间变化率。
    • 迁移导数：物理量随空间位置的变化率。

5. 流动分类与方程简化

分类依据 类型 简化条件 控制方程特点
可压缩性 不可压流 DρDt=0\frac{D\rho}{Dt} = 0（密度恒定） ∇⋅V=0\nabla \cdot \mathbf{V} = 0，压力为约束变量
可压流 Ma=V/cMa = V/c（马赫数分类） 压力可推进求解，可能出现激波
黏性 无黏流（Euler方程） μ=0,k=0\mu = 0, k = 0（忽略黏性和热传导） ∂Q∂t+∂E∂x+∂F∂y+∂G∂z=0\frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial x} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial y} + \frac{\partial \mathbf{G}}{\partial z} = 0
黏性流（N-S方程） 考虑黏性应力τij\tau_{ij} 和热传导qq 含黏性项Ev,Fv,Gv\mathbf{E_v}, \mathbf{F_v}, \mathbf{G_v}
时间依赖性 定常流 ∂∂t=0\frac{\partial}{\partial t} = 0 时间导数为零
非定常流 物理量依赖时间 含时间导数项
流体类型 牛顿流体 应力-应变率线性（τ=μγ˙\tau = \mu \dot{\gamma}） 本构关系简单
非牛顿流体 假塑性/胀流性/Bingham流体等（非线性本构） 需复杂本构模型
相态 单相流 单一流体相 标准控制方程
多相流 多相共存（液气/液固等） 需额外相分数方程（如αρg+(1−α)ρf\alpha \rho_g + (1-\alpha)\rho_f）

6. 典型流动的方程简化案例

  • 定常管道层流：忽略局部/对流加速度，保留压力梯度和黏性力 →0=−∇p+μ∇2U0 = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{U}
  • 突然启动平板流：忽略对流加速度/压力梯度，保留局部加速度和黏性力 →∂u∂t=ν∇2u\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \nabla^2 u
  • 边界层流动：忽略局部加速度，保留对流加速度和黏性力 →U⋅∇U=ν∇2U\mathbf{U} \cdot \nabla \mathbf{U} = \nu \nabla^2 \mathbf{U}
  • 无黏定常绕翼型流：忽略黏性力/局部加速度，保留压力梯度与对流加速度 →ρU⋅∇U=−∇p\rho \mathbf{U} \cdot \nabla \mathbf{U} = -\nabla p

§2.2 流体力学控制方程组的分类

1. 方程分类的意义

  • 适定性要求：解的存在性、唯一性、连续依赖性。
  • 影响域与依赖域：决定数值方法（如双曲型用迎风格式，椭圆型用中心差分）。
  • 边界条件提法：需匹配方程类型（如超声速流入口需指定全部参数）。

2. 偏微分方程分类

  • 二阶拟线性方程判别式：Δ=a122−a11a22\Delta = a_{12}^2 - a_{11} a_{22}
    -Δ>0\Delta > 0：双曲型（e.g. 超声速势流方程Ma>1Ma>1）
    -Δ=0\Delta = 0：抛物型（e.g. 声速流动Ma=1Ma=1）
    -Δ<0\Delta < 0：椭圆型（e.g. 亚声速势流方程Ma<1Ma<1）

3. 一阶方程组分类

  • 特征值判据：
    • 纯双曲型：所有特征值为互异实数（e.g. 一维非定常Euler方程，λ=u,u±a\lambda = u, u \pm a）。
    • 纯抛物型：所有特征值为重实根。
    • 纯椭圆型：所有特征值为复数。
    • 混合型（e.g. 定常可压流）：
      -Ma<1Ma < 1：椭圆-抛物型
      -Ma>1Ma > 1：抛物-双曲型

4. 流体方程组类型汇总

方程类型 定常流 非定常流
可压N-S方程 椭圆-双曲型 抛物-双曲型
可压Euler方程 亚声速：椭圆-抛物型
超声速：抛物-双曲型		 抛物-双曲型
不可压N-S方程 椭圆型 椭圆-抛物型
不可压Euler方程 椭圆-双曲型 椭圆-双曲型

5. 定解条件提法

  • 初始条件：
    • 定常问题：影响收敛速度，不影响最终解。
    • 非定常问题：需给定全场初始参数。
  • 边界条件：
    • 物理边界条件：
      • 壁面：无滑移u=v=0u=v=0，等温T=TwallT=T_{\text{wall}}，绝热∂T∂n=0\frac{\partial T}{\partial n}=0。
      • 入口：指定速度/压力（根据特征线指向域内数量）。
      • 出口：法向梯度为零∂u∂n=0\frac{\partial u}{\partial n} = 0。
    • 数值边界条件：补充物理条件不足（如外推法）。

§2.3 不同类型方程的特性与数值处理

1. 双曲型方程

  • 特性：
    • 存在特征线，信息沿特征线有限速度传播。
    • 解可能间断（e.g. 激波）。
  • 数值方法：
    • 特征线法：沿特征线积分相容方程。
    • 时间推进法：依赖区内步进求解（e.g. 一维Euler方程解耦为三个对流方程）。
  • 边界条件：入口特征线数量 = 需指定的物理条件数量。

2. 抛物型方程

  • 特性：
    • 信息无限速度传播（指数衰减），依赖域为半无限区域。
    • 单向依赖性（e.g. 时间向前，空间双向）。
  • 数值方法：初始条件+边界条件，沿主方向推进求解（e.g. 非稳态热传导∂T∂t=α∇2T\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T）。

3. 椭圆型方程

  • 特性：
    • 信息瞬时传遍全解域，无时间依赖。
    • 需封闭解域和全场边界条件。
  • 数值方法：全场联立求解（e.g. 定常不可压流压力方程）。

§2.4 模型方程及应用

典型模型方程

方程 形式 物理意义 数值研究用途
线性对流方程 ∂u∂t+a∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = 0 无耗散波动 格式稳定性、色散误差分析
扩散方程 ∂u∂t=α∂2u∂x2\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 黏性/热传导主导 耗散误差分析
Burgers方程 ∂u∂t+u∂u∂x=α∂2u∂x2\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 对流-扩散耦合 激波捕捉格式验证
Laplace方程 ∂2u∂x2+∂2u∂y2=0\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 稳态场分布 椭圆型求解器验证
非线性单波方程 ∂u∂t+a(u)∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + a(u) \frac{\partial u}{\partial x} = 0 非线性波动（激波形成） 间断解处理验证

Burgers方程的特性

  • 物理意义：简化动量方程（含非线性对流和线性扩散）。
  • 数学性质：整体抛物型，兼具波动（特征线传播）和耗散特性。

核心图示总结

  1. 雷诺数效应（Page 35）：圆柱绕流流态随ReRe 变化（Re=9.6Re=9.6 层流 →Re=104Re=10^4 湍流）。
  2. N-S方程四项平衡（Page 52）：
    • 局部加速度（非定常）、对流加速度、压力梯度、黏性力的重要性分布。
  3. 特征线传播（Page 91, 93）：双曲型方程信息沿特征线有限速度传播。
  4. 非牛顿流体分类（Page 40）：应力-应变率曲线（牛顿流/假塑性/胀流性/Bingham流体）。

CH03 有限差分法基础

一、差分格式基础

  1. 离散化概念

    • 定义：用有限离散点/控制体上的表达式近似连续数学表达式
    • 核心术语：
      • 网格点（节点）
      • 空间步长（Δx）、时间步长（Δt）
      • 坐标系索引（如 ujnu_j^n 表示位置j、时间层n的值）

  2. 差商近似原理

    • 微商差分：取消极限过程，用差商代替偏导数
      • 一阶偏导：∂u∂x≈u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)Δx\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x}
    • Taylor展开分析：
      • u(x0+Δx)=u(x0)+Δx∂u∂x+Δx22!∂2u∂x2+⋯u(x_0+\Delta x) = u(x_0) + \Delta x \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\Delta x^2}{2!} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cdots
      • 截断误差（T.E.）：T.E.=−12!∂2u∂x2Δx+⋯T.E. = -\frac{1}{2!} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \Delta x + \cdots

  3. 常用差分格式

    导数阶数 差分类型 公式 精度
    一阶导数 前向差分 uj+1−ujΔx\frac{u_{j+1}-u_j}{\Delta x} O(Δx)O(\Delta x)
    后向差分 uj−uj−1Δx\frac{u_j-u_{j-1}}{\Delta x} O(Δx)O(\Delta x)
    中心差分 uj+1−uj−12Δx\frac{u_{j+1}-u_{j-1}}{2\Delta x} O(Δx2)O(\Delta x^2)
    二阶导数 中心差分 uj+1−2uj+uj−1Δx2\frac{u_{j+1}-2u_j+u_{j-1}}{\Delta x^2} O(Δx2)O(\Delta x^2)
    混合导数 中心差分 ui+1,j+1−ui+1,j−1−ui−1,j+1+ui−1,j−14ΔxΔy\frac{u_{i+1,j+1}-u_{i+1,j-1}-u_{i-1,j+1}+u_{i-1,j-1}}{4\Delta x \Delta y} O(Δx2,Δy2)O(\Delta x^2, \Delta y^2)
    时间导数 前差/后差/中心差 ujn+1−ujnΔt\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t}, ujn−ujn−1Δt\frac{u^n_j-u^{n-1}_j}{\Delta t}, ujn+1−ujn−12Δt\frac{u^{n+1}_j-u^{n-1}_j}{2\Delta t} 依格式而定

  4. 差分格式构造方法

    • 直接差分逼近法：基于Taylor展开
    • 待定系数法：
      • 例：二阶精度三点前向差分：∂u∂x≈−uj+2+4uj+1−3uj2Δx\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{-u_{j+2} + 4u_{j+1} - 3u_j}{2\Delta x}
      • 四阶精度五点中心差分：∂u∂x≈−uj+2+8uj+1−8uj−1+uj−212Δx\frac{\partial u}{\partial x} \approx \frac{-u_{j+2} + 8u_{j+1} - 8u_{j-1} + u_{j-2}}{12\Delta x}
    • 积分方法：结合控制体积分（见有限体积法）

  5. 时间-空间组合格式

    • 显式格式：逐点求解（如FTBS：ujn+1=ujn−σ(ujn−uj−1n)u_j^{n+1} = u_j^n - \sigma(u_j^n - u_{j-1}^n)）
    • 隐式格式：需联立求解方程组（如BTCS）
    • 常见组合：
      • FTCS（时间前差空间中心差）
      • FTBS（时间前差空间后差，迎风格式）

二、差分离散基本原则

  1. 相容性（Consistency）

    • 定义：当 Δt,Δx→0\Delta t, \Delta x \to 0 时，差分方程截断误差 R→0R \to 0
    • 分类：
      • 无条件相容：FTCS格式对扩散方程（R=O(Δt,Δx2)R = O(\Delta t, \Delta x^2)）
      • 条件相容：Lax格式对对流方程（需 Δt/Δx\Delta t / \Delta x 固定）

  2. 稳定性（Stability）

    • 定义：计算误差随迭代有界（∥En∥≤K∥E0∥\| \mathcal{E}^n \| \leq K \| \mathcal{E}^0 \|）
    • 误差组成：
      • 离散误差（εD\varepsilon_D）：差分精确解与PDE解析解之差
      • 舍入误差（εr\varepsilon_r）：计算机字长限制
    • 分析方法：
      • Von Neumann法（Fourier级数）
      • 矩阵分析法（谱半径 ρ(G)≤1\rho(G) \leq 1）
      • Hirt法

  3. 收敛性（Convergence）

    • 定义：当 Δt,Δx→0\Delta t, \Delta x \to 0 时，数值解趋近解析解（∥ujn−u(x,t)∥→0\| u_j^n - u(x,t) \| \to 0）
    • 收敛率：εD=O(Δtg+Δxp)\varepsilon_D = O(\Delta t^g + \Delta x^p)

  4. Lax等价定理

    • 核心：对适定线性初值问题，相容的差分格式收敛 ⇔ 稳定
    • 适用条件：
      • 初值问题（含周期性边界）
      • 问题适定（解存在、唯一、连续依赖初值）
      • 线性问题（非线性问题需特殊处理）

三、稳定性分析方法

  1. Von Neumann方法

    • 步骤：
      1. 初始误差Fourier展开：εj0=∑βAβ0eiβxj\varepsilon_j^0 = \sum_\beta A_\beta^0 e^{i\beta x_j}
      2. 定义层间放大因子：G=εn+1/εnG = \varepsilon^{n+1} / \varepsilon^n
      3. 稳定性条件：$ |G| \leq 1 $（标量）或 ρ(G)≤1\rho(G) \leq 1（矩阵）
    • 应用案例：
      • FTBS格式（对流方程）：稳定条件 0<σ≤10 < \sigma \leq 1
      • Lax-Wendroff格式：稳定条件 ∣σ∣≤1|\sigma| \leq 1
      • 隐式热传导格式：恒稳定（$ |G| = \frac{1}{1+4r \sin^2(\beta h/2)} < 1 $）

  2. 多维问题稳定性

    • 例：二维扩散方程显式格式：
      αΔt(1Δx2+1Δy2)≤12 \alpha \Delta t \left( \frac{1}{\Delta x^2} + \frac{1}{\Delta y^2} \right) \leq \frac{1}{2}

四、有限体积法（FVM）

  1. 基本思想

    • 控制体积分：∂∂t∭VQdV+∬SF⋅dS=0\frac{\partial}{\partial t} \iiint_V \mathbf{Q} dV + \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0
    • 对比有限差分法：
      特性 有限差分法（FDM） 有限体积法（FVM）
      基础 微分形式 积分形式
      守恒性 依赖格式 天然保证
      网格适应性 结构网格易高精度 非结构网格更灵活
      几何处理 需度量系数（易引几何守恒问题） 几何量与物理量独立计算

  2. 离散过程

    • 半离散：空间积分 → 常微分方程
      duˉjdt=−fj+1/2−fj−1/2Δx \frac{d\bar{u}_j}{dt} = -\frac{f_{j+1/2} - f_{j-1/2}}{\Delta x}
    • 全离散：时空积分 → 代数方程
      • 重构（Reconstruction）：由单元均值 $ \bar{u}_j $ 重构分布 $ u(x) $
        • 常数重构：$ u(x) = \bar{u}_j $（等价一阶迎风）
        • 线性重构：$ u(x) = \bar{u}_j + D_j (x - x_j) $（可提至二阶精度）
      • 演化（Evolution）：解Riemann问题求通量 $ \hat{f}_{j+1/2} $

  3. 与FDM等价性

    • 一维均匀网格下：
      • 常数重构 → FTBS格式
      • 线性重构 + 中心差分 → Lax-Wendroff格式

五、关键案例与编程

  1. 污染物扩散问题

    • 控制方程：∂C∂t=β∂2C∂x2\frac{\partial C}{\partial t} = \beta \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}
    • 边界条件：C(t,0)=20.0C(t,0)=20.0, ∂C∂x(t,10)=0.0\frac{\partial C}{\partial x}(t,10)=0.0
    • FTCS显式格式：
      Cjn+1=Cjn+βΔtΔx2(Cj+1n−2Cjn+Cj−1n) C_j^{n+1} = C_j^n + \frac{\beta \Delta t}{\Delta x^2} (C_{j+1}^n - 2C_j^n + C_{j-1}^n)
    • 稳定性条件：βΔt/Δx2≤0.5\beta \Delta t / \Delta x^2 \leq 0.5
    • 编程实现：Fortran代码（见Page 34）

  2. 收敛性验证

    • 网格收敛实验：32×16→512×25632\times16 \to 512\times256
    • 误差定义：
      ErrorL2=∑ϵi,j2∣Ji,j∣∑∣Ji,j∣,ϵi,j=Si,j−SexactSexact \text{Error}_{L_2} = \sqrt{ \frac{ \sum \epsilon_{i,j}^2 |J_{i,j}| }{ \sum |J_{i,j}| } }, \quad \epsilon_{i,j} = \frac{S_{i,j} - S^{\text{exact}}}{S^{\text{exact}}}
    • 结果：高阶格式（如WCNS-E5）收敛更快

CH04 一维抛物型与双曲型方程的数值方法

一、抛物型方程数值方法

§4.1 显格式

  1. 一般形式

    • 一维拟线性抛物型方程：
      a(x,t)∂u∂t=∂∂x[a(x,t)∂u∂x]+b(x,t)∂u∂x−c(x,t)u a(x,t) \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ a(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} \right] + b(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} - c(x,t)u

    • 算子形式：∂u∂t=L(x,t,D,D2)u\frac{\partial u}{\partial t} = L(x,t,D,D^2)u，其中D=∂/∂xD = \partial/\partial x。

  2. Taylor展开法

    -ujn+1=exp⁡(kL)ujnu_j^{n+1} = \exp(kL) u_j^n，k=Δtk = \Delta t，h=Δxh = \Delta x。

    • 中心差分算子：δxujn=uj+1/2n−uj−1/2n=2sinh⁡(h2D)ujn\delta_x u_j^n = u_{j+1/2}^n - u_{j-1/2}^n = 2 \sinh\left(\frac{h}{2} D\right) u_j^n。
    • 逆算子：D=2hsinh⁡−1(δx/2)D = \frac{2}{h} \sinh^{-1}(\delta_x / 2)。

  3. 常系数方程（∂u/∂t=∂2u/∂x2\partial u/\partial t = \partial^2 u / \partial x^2）

    • 显格式：ujn+1=ujn+rδx2ujnu_j^{n+1} = u_j^n + r \delta_x^2 u_j^n，r=k/h2r = k/h^2。

      • 截断误差：O(Δt,Δx2)O(\Delta t, \Delta x^2)。

    • 高阶显格式（取前三项）：
      ujn+1=12(2−5r+6r2)ujn+23r(2−3r)(uj+1n−uj−1n)−r12(1−6r)(uj+2n+uj−2n) u_j^{n+1} = \frac{1}{2}(2-5r+6r^2)u_j^n + \frac{2}{3}r(2-3r)(u_{j+1}^n - u_{j-1}^n) - \frac{r}{12}(1-6r)(u_{j+2}^n + u_{j-2}^n)

      • 当r=1/6r = 1/6 时精度更高。

  4. 自伴随方程（∂u/∂t=∂/∂x(a(x)∂u/∂x)\partial u/\partial t = \partial / \partial x (a(x) \partial u / \partial x)）

    • 显格式：ujn+1=ujn+ar(uj+1n−2ujn+uj−1n)+a′σ2(uj+1n−uj−1n)u_j^{n+1} = u_j^n + ar (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n) + \frac{a' \sigma}{2} (u_{j+1}^n - u_{j-1}^n)。

§4.2 隐格式

  1. 一般形式

    -exp⁡(−θkL)ujn+1=exp⁡((1−θ)kL)ujn\exp(-\theta k L) u_j^{n+1} = \exp((1-\theta)k L) u_j^n，其中：
    -θ=0\theta = 0：显格式；θ=1/2\theta = 1/2：Crank-Nicolson；θ=1\theta = 1：全隐格式。

  2. 典型格式

    • Crank-Nicolson格式：
      (1+r)ujn+1−r2(uj+1n+1+uj−1n+1)=(1−r)ujn+r2(uj+1n+uj−1n) (1+r)u_j^{n+1} - \frac{r}{2}(u_{j+1}^{n+1} + u_{j-1}^{n+1}) = (1-r)u_j^n + \frac{r}{2}(u_{j+1}^n + u_{j-1}^n)

      • 精度：O(Δt2,Δx2)O(\Delta t^2, \Delta x^2)，稳定性：无条件稳定（r>0r > 0)。

    • 全隐格式：
      ujn+1=ujn+r(uj+1n+1−2ujn+1+uj−1n+1) u_j^{n+1} = u_j^n + r(u_{j+1}^{n+1} - 2u_j^{n+1} + u_{j-1}^{n+1})

      • 精度：O(Δt,Δx2)O(\Delta t, \Delta x^2)，无条件稳定。

    • Du Fort-Frankel格式（蛙跳）：
      ujn+1−ujn−12Δt=1h2(uj+1n−ujn+1−ujn−1+uj−1n) \frac{u_j^{n+1} - u_j^{n-1}}{2\Delta t} = \frac{1}{h^2} \left( u_{j+1}^n - u_j^{n+1} - u_j^{n-1} + u_{j-1}^n \right)

      • 稳定性：无条件稳定，但需Δt∼Δx2\Delta t \sim \Delta x^2 保证相容性。

  3. 非线性方程处理

    • 隐式离散：ujn+1−ujnΔt=1h2δx2[θ(uα)n+1+(1−θ)(uα)n]\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} = \frac{1}{h^2} \delta_x^2 \left[ \theta (u^\alpha)^{n+1} + (1-\theta) (u^\alpha)^n \right]。

    • 线性化：(uα)n+1≈(uα)n+α(uα−1)nΔuj(u^\alpha)^{n+1} \approx (u^\alpha)^n + \alpha (u^{\alpha-1})^n \Delta u_j。

    • 追赶法求解三对角方程组，需保证对角占优条件：
      βj≥ηj+γj,β1≥γ1,βJ−1≥∣ηJ−1∣. \beta_j \geq \eta_j + \gamma_j, \quad \beta_1 \geq \gamma_1, \quad \beta_{J-1} \geq |\eta_{J-1}|.

  4. 案例：热传导问题

    • 方程：∂T/∂t=β∂2T/∂x2\partial T / \partial t = \beta \partial^2 T / \partial x^2。

    • Crank-Nicolson离散：
      [2+2r−r0−r⋱−r0−r2+2r]Tn+1=[2−2rr0r⋱r0r2−2r]Tn+边界项 \begin{bmatrix} 2+2r & -r & 0 \\ -r & \ddots & -r \\ 0 & -r & 2+2r \end{bmatrix} \mathbf{T}^{n+1} = \begin{bmatrix} 2-2r & r & 0 \\ r & \ddots & r \\ 0 & r & 2-2r \end{bmatrix} \mathbf{T}^n + \text{边界项}

二、双曲型方程数值方法

§4.3 经典差分格式（∂u/∂t+a∂u/∂x=0\partial u/\partial t + a \partial u/\partial x = 0）

  1. 迎风格式

    • 一阶迎风：ujn+1=ujn−σ(ujn−uj−1n)u_j^{n+1} = u_j^n - \sigma (u_j^n - u_{j-1}^n)（a>0a > 0）。

      • 精度：O(Δt,Δx)O(\Delta t, \Delta x)，CFL条件：σ=∣a∣Δt/Δx≤1\sigma = |a| \Delta t / \Delta x \leq 1。

    • 二阶迎风（Beam-Warming）：
      ujn+1=ujn−σ(ujn−uj−1n)−σ(1−σ)2(ujn−2uj−1n+uj−2n) u_j^{n+1} = u_j^n - \sigma (u_j^n - u_{j-1}^n) - \frac{\sigma(1-\sigma)}{2} (u_j^n - 2u_{j-1}^n + u_{j-2}^n)

      • 精度：O(Δt,Δx2)O(\Delta t, \Delta x^2)，CFL条件：σ≤2\sigma \leq 2。

  2. Lax格式

    -ujn+1=12(uj+1n+uj−1n)−σ2(uj+1n−uj−1n)u_j^{n+1} = \frac{1}{2} (u_{j+1}^n + u_{j-1}^n) - \frac{\sigma}{2} (u_{j+1}^n - u_{j-1}^n)。

    • 精度：O(Δt,Δx2/Δt)O(\Delta t, \Delta x^2 / \Delta t)，CFL条件：σ≤1\sigma \leq 1。

  3. Lax-Wendroff格式

    • 构造：Taylor展开 + 微分方程替换∂2u/∂t2=a2∂2u/∂x2\partial^2 u / \partial t^2 = a^2 \partial^2 u / \partial x^2。
      ujn+1=ujn−σ2(uj+1n−uj−1n)+σ22(uj+1n−2ujn+uj−1n) u_j^{n+1} = u_j^n - \frac{\sigma}{2} (u_{j+1}^n - u_{j-1}^n) + \frac{\sigma^2}{2} (u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n)

      • 精度：O(Δt2,Δx2)O(\Delta t^2, \Delta x^2)，CFL条件：σ≤1\sigma \leq 1。

  4. MacCormack格式

    • 预测步：uj∗=ujn−σ(uj+1n−ujn)u_j^* = u_j^n - \sigma (u_{j+1}^n - u_j^n)。
    • 校正步：uj∗∗=uj∗−σ(uj∗−uj−1∗)u_j^{**} = u_j^* - \sigma (u_j^* - u_{j-1}^*)，ujn+1=12(ujn+uj∗∗)u_j^{n+1} = \frac{1}{2} (u_j^n + u_j^{**})。
      • 等价于Lax-Wendroff格式（线性方程），精度O(Δt2,Δx2)O(\Delta t^2, \Delta x^2)。

§4.4 双曲型方程组（∂U/∂t+A∂U/∂x=0\partial U/\partial t + A \partial U/\partial x = 0）

  1. 特征分析

    • 严格双曲型：AA 有mm 个互异实特征值λ1<⋯<λm\lambda_1 < \cdots < \lambda_m。
    • 特征变量：ω=LU\omega = L U，解耦为∂ωi/∂t+λi∂ωi/∂x=0\partial \omega_i / \partial t + \lambda_i \partial \omega_i / \partial x = 0。

  2. 格式构造

    • 特征迎风格式：
      ωjn+1=ωjn−α[λ+∣λ∣2(ωjn−ωj−1n)+λ−∣λ∣2(ωj+1n−ωjn)] \omega_j^{n+1} = \omega_j^n - \alpha \left[ \frac{\lambda + |\lambda|}{2} (\omega_j^n - \omega_{j-1}^n) + \frac{\lambda - |\lambda|}{2} (\omega_{j+1}^n - \omega_j^n) \right]

    • Lax-Wendroff格式：
      Ujn+1=Ujn−α2(Fj+1n−Fj−1n)+α22[Aj+1n(Fj+1n−Fjn)−Aj−1n(Fjn−Fj−1n)] U_j^{n+1} = U_j^n - \frac{\alpha}{2} (F_{j+1}^n - F_{j-1}^n) + \frac{\alpha^2}{2} \left[ A_{j+1}^n (F_{j+1}^n - F_j^n) - A_{j-1}^n (F_j^n - F_{j-1}^n) \right]

    • MacCormack格式：

      • 预测：Uj∗=Ujn−α(Fj+1n−Fjn)U_j^* = U_j^n - \alpha (F_{j+1}^n - F_j^n)。
      • 校正：Uj∗∗=Uj∗−α(Fj∗−Fj−1∗)U_j^{**} = U_j^* - \alpha (F_j^* - F_{j-1}^*)，Ujn+1=12(Ujn+Uj∗∗)U_j^{n+1} = \frac{1}{2} (U_j^n + U_j^{**})。

  3. 案例：准一维喷管流动

    • 守恒型方程组：
      ∂(ρA)∂t+∂(ρAV)∂x=0,∂(ρVA)∂t+∂(ρV2A)∂x=−A∂p∂x,⋯ \frac{\partial (\rho A)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho A V)}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial (\rho V A)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho V^2 A)}{\partial x} = -A \frac{\partial p}{\partial x}, \quad \cdots

    • MacCormack格式推进，边界条件：

      • 左边界：V1=2V2−V3V_1 = 2V_2 - V_3，P1=P0P_1 = P_0。
      • 右边界：特征相容条件（超声速/亚声速）。

三、差分格式分析工具

§4.5 修正方程

  1. 定义与推导

    • 差分方程解析延拓得到的等效微分方程：
      ∂u∂t+a∂u∂x=∑n=2∞νn∂nu∂xn \frac{\partial u}{\partial t} + a \frac{\partial u}{\partial x} = \sum_{n=2}^{\infty} \nu_n \frac{\partial^n u}{\partial x^n}

    • 自循环消元法：用Taylor展开消去时间导数（避免使用原方程）。

  2. 应用

    • 稳定性分析：如FTFS格式修正方程含负耗散项（ν2<0\nu_2 < 0），导致不稳定。
    • 格式构造：如Lax-Wendroff格式通过添加−a2Δt2∂2u/∂x2-\frac{a^2 \Delta t}{2} \partial^2 u / \partial x^2 项抑制振荡。
    • 人工耗散：添加εδx2ujn\varepsilon \delta_x^2 u_j^n 项，调节ε\varepsilon 可得不同格式（ε=σ2/2\varepsilon = \sigma^2/2 即Lax-Wendroff）。

§4.6 耗散与色散性质

  1. 概念

    • 耗散：振幅衰减（正耗散）或增长（负耗散）。
    • 色散：相位误差导致波形畸变（超前/滞后）。
    • 来源：修正方程中偶阶项主导耗散，奇阶项主导色散。

  2. 定量分析

    • 放大因子GG：

      -∣G∣<1|G| < 1：耗散；Arg(G)≠−aβΔtArg(G) \neq -a \beta \Delta t：色散。

      • 相位误差：εp=ae(qF−1)t\varepsilon_p = a_e (q_F - 1)t，qF=aF/aeq_F = a_F / a_e。

    • 典型格式特性：

      格式 耗散性 色散性 CFL条件
      FTBS (迎风) σ<1\sigma < 1 正 0.5<σ<10.5<\sigma<1 正 σ≤1\sigma \leq 1
      CTCS (中心) 无耗散 σ<1\sigma < 1 负 σ≤1\sigma \leq 1
      Lax-Wendroff 弱耗散 σ<1\sigma < 1 负 σ≤1\sigma \leq 1
      Beam-Warming 弱耗散 0<σ<10<\sigma<1 正 σ≤2\sigma \leq 2

  3. 高分辨率格式示例

    • WENO格式：通过加权组合模板抑制振荡，网格加密可提升激波分辨率（见双马赫反射案例）。

四、特殊方程与数学基础

§4.7 Burgers方程（∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂2u/∂x2\partial u/\partial t + u \partial u/\partial x = \nu \partial^2 u/\partial x^2）

  1. 物理意义

    • Navier-Stokes方程的简化模型（含非线性对流与粘性扩散）。

  2. 数值挑战

    • 网格雷诺数：Re(Δx)=ρuΔx/μ≤2Re(\Delta x) = \rho u \Delta x / \mu \leq 2（避免振荡）。
    • FTCS格式需满足σ≤2r\sigma \leq 2r（即Re(Δx)≤2Re(\Delta x) \leq 2）。

  3. 耗散与色散平衡

    • 中心差分：Re(Δx)>2Re(\Delta x) > 2 时物理耗散不足，引发振荡。
    • 迎风差分：引入数值耗散抑制振荡，但可能掩盖物理粘性。

§4.8 双曲守恒律的弱解

  1. 间断解问题

    • 非线性方程（如∂u/∂t+u∂u/∂x=0\partial u/\partial t + u \partial u/\partial x = 0）特征线相交产生间断。
    • Rankine-Hugoniot条件：间断速度s=[f]/[u]s = [f] / [u]。

  2. 弱解定义

    • 积分形式：∫Γ[u dx−f(u) dt]=0\int_\Gamma [u \, dx - f(u) \, dt] = 0 或∬(uwt+fwx) dxdt=0\iint (u w_t + f w_x) \, dx dt = 0（∀w∈C0∞\forall w \in C_0^\infty）。

  3. 熵条件

    • Oleinik条件：对任意w∈(min⁡(u+,u−),max⁡(u+,u−))w \in (\min(u_+, u_-), \max(u_+, u_-))，满足
      f(u+)−f(w)u+−w≤s≤f(u−)−f(w)u−−w \frac{f(u_+) - f(w)}{u_+ - w} \leq s \leq \frac{f(u_-) - f(w)}{u_- - w}

    • 物理意义：激波需满足特征线汇聚（左特征速度 >ss > 右特征速度）。

  4. 案例：交通流模型

    • 方程：∂ρ/∂t+∂/∂x[ρumax⁡(1−ρ/ρmax⁡)]=0\partial \rho / \partial t + \partial / \partial x [\rho u_{\max} (1 - \rho / \rho_{\max})] = 0。
    • 激波解（拥堵形成）：ρl<ρr\rho_l < \rho_r，s=−12umax⁡s = -\frac{1}{2} u_{\max}。
    • 稀疏波解（拥堵解除）：ρl>ρr\rho_l > \rho_r，连续解。

核心结论

  1. 格式选择准则：
    • 抛物方程：隐式格式（无条件稳定，需求解矩阵）。
    • 双曲方程：迎风/Lax-Wendroff（抑制振荡），高阶格式（如WENO）用于激波捕捉。
  2. 稳定性与精度：
    • CFL条件是必要非充分条件，修正方程揭示深层稳定性。
    • 耗散/色散分析是格式优化的理论基础。
  3. 工程应用：
    • 网格雷诺数限制实际计算分辨率，人工耗散不可或缺。
    • 弱解与熵条件确保物理可信的间断解（激波、接触间断）。

CH05 可压缩流动的差分方法

一、可压缩流动特性与挑战

  1. 流动复杂性
    • 激波（Shock Wave）：厚度约2.5×10−7m2.5 \times 10^{-7} \text{m}，物理量剧变（熵增过程）。
    • 膨胀波（Expansion Wave）：物理量连续变化，等熵过程。
    • 接触间断（Contact Discontinuity）：压力、速度连续，密度不连续。
  2. 控制方程类型
    • 可压NS方程：定常（椭圆-双曲），非定常（抛物-双曲）。
    • 可压Euler方程：亚声速（椭圆-抛物），超声速（双曲-抛物）。
    • 关键性质：解域存在特征线；守恒型双曲方程存在弱解；差分格式要求高精度、低振荡。

二、Riemann问题（间断分解问题）

1. 定义与重要性

  • 初始条件：$ t=0$ 时，$ x<0$ 区(u1,ρ1,P1)(u_1, \rho_1, P_1)，$ x>0$ 区(u2,ρ2,P2)(u_2, \rho_2, P_2)。
  • 解的结构：分解为激波、接触间断、中心稀疏波（共5类解）。
  • 应用：CFD核心基础，高分辨率格式的基石（如Godunov格式）。

2. 解的类型（基于初值条件）

类型 结构 条件
激波-接触间断-激波 两激波夹接触间断 $ u_1 - u_2 \geq F(P_2)$
稀疏波-接触间断-激波 左稀疏波，右激波 $ F(P_2) > u_1 - u_2 \geq F(P_1)$
激波-接触间断-稀疏波 左激波，右稀疏波 对称于第二类
稀疏波-接触间断-稀疏波 两侧稀疏波 $ F(P_1) > u_1 - u_2 \geq F(0)$
稀疏波-真空-稀疏波 含真空区 $ u_1 - u_2 < F(0)$

3. 求解方法

  • 关键关系式：
    • 激波：Rankine-Hugoniot（R-H）关系（质量、动量、能量守恒）。
    • 稀疏波：黎曼不变量沿特征线不变：$ u \pm \frac{2c}{\gamma-1} = \text{const}$。
  • 数值求解：迭代求解压力$ \overline{P}$ 和速度$ U$，再确定各区流动参数。

三、激波捕捉格式

1. 基本分类

方法 代表格式 特点
激波装配法 预先设定激波位置 精度高但复杂，适用于简单激波结构。
激波捕捉法 所有主流格式 无需预设激波，通过数值耗散自动捕捉。

2. 核心问题

  • 激波抹平（Smearing）：激波跨越多个网格。
  • 数值振荡（Oscillation）：激波前后非物理波动（色散误差导致）。

3. 改进方法

  • 人工粘性法：在激波区添加滤波项（如MacCormack格式+开关函数$ Q$）。

  • 混合格式法：上游用$ v_3>0$ 格式（如Beam-Warming），下游用$ v_3<0$ 格式（如Lax-Wendroff）。

  • 矢通量分裂（FVS）：

    • Steger-Warming分裂：$ F = F^+ + F^-$（特征值分裂）。
    • van Leer分裂：基于马赫数分段定义（光滑性优于Steger-Warming）。

  • 通量差分分裂（FDS）：

    • Roe格式：线性化Riemann解，通量公式：
      F^=12[F(UL)+F(UR)−∣A~roe∣(UR−UL)] \hat{F} = \frac{1}{2} \left[ F(U_L) + F(U_R) - |\tilde{A}^{\text{roe}}| (U_R - U_L) \right]

      • Roe平均：密度加权平均（$ \tilde{u}, \tilde{H}, \tilde{c}$）。
      • 熵修正：Harten修正避免非物理解（如激波失稳）。

  • 混合格式：

    • AUSM/AUSM+：对流项与压力项分离处理，格式简洁高效。

四、高分辨率格式

1. Godunov格式

  • 思想：网格内物理量片状常数分布 → 求解局部Riemann问题 → 时间步进后网格平均。
  • 缺点：一阶精度，耗散大；需精确求解Riemann问题（计算量大）。

2. MUSCL格式（Monotonic Upstream Schemes）

  • 核心：高阶插值（线性/二次重构）提升精度。

  • 限制器函数：抑制振荡（如minmod、van Leer、Superbee）。
    uj+1/2L=uj+12ϕ(r)∇uj,r=∇uj+1∇uj u_{j+1/2}^L = u_j + \frac{1}{2} \phi(r) \nabla u_j, \quad r = \frac{\nabla u_{j+1}}{\nabla u_j}

  • 通量计算：结合Roe等近似Riemann求解器。

3. TVD格式（Total Variation Diminishing）

  • 思想：保证总变差$ TV(u^{n+1}) \leq TV(u^n)$（抑制振荡）。
  • 构造方法：
    • Harten条件：系数约束（$ D_{j+1/2} \geq 0, C_{j-1/2} \geq 0, D_{j+1/2} + C_{j-1/2} \leq 1$）。
    • 限制器设计：如 minmod（保守）、superbee（高分辨率）。
  • 推广：方程组需特征分解，多维问题逐维应用。

4. NND格式（无波动、无自由参数耗散格式）

  • 思想：激波上游用迎风差分，下游用中心差分（通过minmod函数自动切换）。

  • 通量构造：
    fL,j+1/2=fj++12minmod(Δfj+1/2+,Δfj−1/2+) f_{L,j+1/2} = f_j^+ + \frac{1}{2} \text{minmod}(\Delta f_{j+1/2}^+, \Delta f_{j-1/2}^+)

五、高精度格式进阶

1. ENO/WENO格式

  • ENO：自适应选择光滑模板（$ k$阶多项式插值），本质无振荡。

  • WENO：加权组合多个模板，达到$ 2k-1$ 阶精度（如5阶WENO）：
    f^j+1/2=∑k=0r−1ωkqk(xj+1/2),ωk=αk∑αk,αk=Ck(ϵ+ISk)2 \hat{f}_{j+1/2} = \sum_{k=0}^{r-1} \omega_k q_k(x_{j+1/2}), \quad \omega_k = \frac{\alpha_k}{\sum \alpha_k}, \quad \alpha_k = \frac{C_k}{(\epsilon + IS_k)^2}

    • 光滑因子$ IS_k$：衡量模板光滑度。

2. 紧致格式（Compact Scheme）

  • 特点：用邻近点导数值构造高阶格式（模板窄，边界处理难）。
  • 例：Lele格式（隐式求解导数，高分辨率但计算复杂）。

六、关键算法对比

格式类型 代表 精度 计算量 适用场景
FVS Steger-Warming 中 低 高速流动
FDS Roe 高 中 激波分辨率要求高
混合 AUSM+ 高 低 广泛（不需熵修正）
TVD/MUSCL van Leer限制器 二阶+ 中 平衡精度与稳健性
高阶 WENO5 五阶 高 复杂流场（高精度需求）

七、应用示例

  1. Sod激波管问题：经典Riemann问题验证（激波、接触间断、稀疏波结构）。
  2. 前向台阶激波反射：对比格式性能（Roe分辨率高，AUSM+无熵修正但易现"毛刺"）。
  3. 激波风洞：利用Riemann问题设计高超音速风洞（激波压缩+等熵膨胀）。

CH06 不可压缩流动

一、不可压缩流动基础

  1. 数学特性

    • 定常不可压NS方程：椭圆型方程（全域联立求解）
    • 非定常不可压NS方程：椭圆-抛物型方程
    • 关键性质：
      • 信息向所有方向传播
      • 需封闭解域和完整边界条件
      • 压强$ p$ 为约束变量（非热力学参数），密度近似常数

  2. 直接求解困难

    • 压力-速度耦合导致奇偶失联（棋盘振荡）
    • 连续方程需严格满足∇⋅V=0\nabla \cdot \mathbf{V} = 0
    • 压力需通过泊松方程隐式求解（计算量大）
    • 边界误差全场传播

二、数值方法分类

§6.2 人工压缩性方法

  • 核心思想：引入伪时间项，将不可压流视为虚拟可压缩流
    • 连续方程改造：∂p∂t+c2∇⋅V=0\frac{\partial p}{\partial t} + c^2 \nabla \cdot \mathbf{V} = 0
      -c2c^2 为自由参数（影响收敛速度）
  • Chorin方法步骤：
    1. 交错网格布置（pp 在整点，u,vu,v 在半网格）
    2. 显式求解动量方程得u∗,v∗u^*, v^*
    3. 更新压力pn+1p^{n+1}
    4. 迭代至∂p∂t→0\frac{\partial p}{\partial t} \to 0（稳态解）
  • 局限：瞬态解无物理意义，仅适用于稳态问题

§6.3 投影法与MAC法

  • 投影法（分步求解）：
    • 步骤：
      1. 预测步：忽略压力项求解中间速度V∗\mathbf{V}^*
      2. 修正步：解泊松方程∇2pn+1=1Δt∇⋅V∗\nabla^2 p^{n+1} = \frac{1}{\Delta t} \nabla \cdot \mathbf{V}^*
      3. 投影：Vn+1=V∗−Δt∇pn+1\mathbf{V}^{n+1} = \mathbf{V}^* - \Delta t \nabla p^{n+1}
    • 特点：一阶时间精度，空间精度依赖离散格式
  • MAC法：投影法 + 交错网格 + 中心差分

§6.4 SIMPLE系列方法

  • 基本思想（压力修正法）：
    • 分解变量：p=p∗+p′p = p^* + p',V=V∗+V′\mathbf{V} = \mathbf{V}^* + \mathbf{V}'
    • 通过压力修正p′p' 驱动速度满足连续性
  • SIMPLE算法步骤：
    1. 假设初始压力场p∗p^* 和速度场
    2. 求解动量方程得u∗,v∗u^*, v^*
    3. 解压力修正方程：api,j′+∑bp邻点′=−∇⋅(ρV∗)a p_{i,j}' + \sum b p_{\text{邻点}}' = -\nabla \cdot (\rho \mathbf{V}^*)
    4. 更新p,u,vp, u, v
    5. 亚松弛处理：p=p∗+αpp′p = p^* + \alpha_p p'（αp≈0.1\alpha_p \approx 0.1）
  • 改进算法：
    • SIMPLEC：协调速度修正（收敛提速 20-30%）
    • SIMPLER：压力场独立更新（收敛提速 30-50%，计算量增 50%）

§6.5 预处理方法（补充）

  • 目的：解决低速流 (M≪0.1M \ll 0.1) 的刚性收敛问题
  • 核心：修改时间导数项矩阵Γ\Gamma，优化特征值条件数
    • 预处理后特征值：λ4,5=12(1+1R)u±⋯\lambda_{4,5} = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{R})u \pm \sqrt{\cdots}
    • 使K(A)≈1K(A) \approx 1（原方法M=0.01M=0.01 时K(A)=101K(A)=101）
  • 限制：仅适用于定常问题

三、关键技术与应用

  1. 网格技术

    • 交错网格：避免奇偶失联
      -pp 在(i,j)(i,j)，uu 在(i+1/2,j)(i+1/2,j)，vv 在(i,j+1/2)(i,j+1/2)
    • 压力梯度离散：中心差分(∂p∂x)i,j≈pi+1,j−pi−1,j2Δx\left( \frac{\partial p}{\partial x} \right)_{i,j} \approx \frac{p_{i+1,j} - p_{i-1,j}}{2\Delta x}

  2. 边界条件

    • 需封闭解域 + 完整物理边界条件
    • 压力参考点设定（某点p=0p=0，减少舍入误差）

  3. 商业软件方法对比

    软件 压力基方法 离散格式
    FLUENT SIMPLE/SIMPLEC/PISO UD/TVD/QUICK
    Star-CD SIMPLE/SIMPISO/PISO UD/TVD/QUICK/CD
    CFX SIMPLE UD/TVD/QUICK/CD

四、示例问题

  • 库埃特流动（平板剪切流）：
    • 几何：板间距D=0.01D=0.01，板长L=0.5L=0.5，Re=63.6Re=63.6
    • 方法验证：人工压缩性法、SIMPLE、SIMPLER
    • 结论：
      • 定常问题结果与初值无关
      • 亚松弛因子αp\alpha_p 显著影响收敛速度

总结：不可压缩流动求解核心

方法 适用场景 优势 局限
人工压缩性法 稳态问题 简单易实现 瞬态解无物理意义
投影法/MAC法 非定常问题 物理意义清晰 时间精度低
SIMPLE系列 工业应用主流 可扩展至可压缩流 需亚松弛，收敛慢
预处理方法 低速可压流求解器 统一全速域求解 仅限定常问题

附：压力泊松方程来源
∇2p=−∂∂t(∇⋅V)−∇⋅(V⋅∇V)+1Re∇2D−[D2+2(∂u∂y∂v∂x−∂u∂x∂v∂y)]\nabla^2 p = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{V}) - \nabla \cdot (\mathbf{V} \cdot \nabla \mathbf{V}) + \frac{1}{Re}\nabla^2 D - \left[ D^2 + 2\left( \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial y} \right) \right]
其中D=∇⋅VD = \nabla \cdot \mathbf{V}。

CH07 多维问题的差分方法

§7.1 多维问题差分格式特点

  1. 显式算法直接推广

    • 一维扩散方程：
      • 格式：$ u_i^{n+1} = [1 + r \delta_{xx}]u_i^n，， r = \frac{\Delta t}{\Delta x^2}$
      • 增长因子：$ G = 1 - 4r \sin^2 \left( \frac{k \Delta x}{2} \right)$
      • 稳定性条件：$ r \leq \frac{1}{2}$
    • 二维/三维推广：
      • 二维格式：$ u_{i,j}^{n+1} = [1 + r_x \delta_{xx} + r_y \delta_{yy}]u_{i,j}^n，， r_x = \frac{\Delta t}{\Delta x^2}, r_y = \frac{\Delta t}{\Delta y^2}$
      • 增长因子：$ G = 1 - 4r \left[ \sin^2 \left( \frac{k_1 \Delta x}{2} \right) + \sin^2 \left( \frac{k_2 \Delta y}{2} \right) \right]$
      • 稳定性条件（等步长）：$ r \leq \frac{1}{4}$
      • 三维稳定性：$ r \leq \frac{1}{6}（（ \Delta x = \Delta y = \Delta z$）

  2. 隐式算法直接推广

    • 一维 Crank-Nicolson 格式：
      • 格式：$ u_j^{n+1} - \frac{r}{2} \delta_{xx} u_j^{n+1} = u_j^n + \frac{r}{2} \delta_{xx} u_j^n$
      • 无条件稳定。
    • 二维推广：
      • 格式：包含$ x, y$ 方向的隐式差分项。
      • 问题：生成 五对角矩阵，直接求解困难（计算量大）。

§7.2 多维问题求解算法

  1. 算子分裂算法

    • 思路：将多维问题分解为多个一维问题分步求解。
    • 示例（二维扩散方程）：
      • 第一步（$ y$ 方向）：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \beta \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$（半时间步）
      • 第二步（$ x$ 方向）：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \beta \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$（半时间步）
    • 稳定性：需满足单维稳定性条件（$ r \leq \frac{1}{2}$）。

  2. 交替方向隐式格式（ADI）

    • P-R 格式（1955年提出）：
      • 分两步交替隐式处理$ x$ 和$ y$ 方向。
      • 二维示例：
        • 第一步（隐式$ x，显式，显式 y）：）： u_{j,m}^{n+1/2} - u_{j,m}^n = \frac{\beta \Delta t}{2} \left( \delta_x^2 u_{j,m}^{n+1/2} + \delta_y^2 u_{j,m}^n \right)$
        • 第二步（显式$ x，隐式，隐式 y）：）： u_{j,m}^{n+1} - u_{j,m}^{n+1/2} = \frac{\beta \Delta t}{2} \left( \delta_x^2 u_{j,m}^{n+1/2} + \delta_y^2 u_{j,m}^{n+1} \right)$
      • 优点：无条件稳定，精度$ O(\Delta t^2, \Delta x^2)$。
    • 三维推广（Douglas-Brian 格式）：
      • 分三步处理$ x, y, z$ 方向，但稳定性非无条件。

  3. 跳点算法

    • 思路：按网格点位置（奇偶性）交替更新解。
    • 二维示例：
      • 若$ n + j + k + 1$ 为偶数：显式更新
        $ \overline{u}{j,k}^{n+1} = u{j,k}^n + r_1 \delta_x^2 u_{j,k}^n + r_2 \delta_y^2 u_{j,k}^n$
      • 若$ n + j + k + 1$ 为奇数：隐式更新
        $ u_{j,k}^{n+1} = u_{j,k}^n + r_1 \delta_x^2 \overline{u}{j,k}^{n+1} + r_2 \delta_y^2 \overline{u}{j,k}^{n+1}$
    • 特点：二阶精度、无条件稳定。

§7.3 差分方程组的时间积分法

  1. Runge-Kutta 方法

    • 通用形式：
      U(i)=∑k=0i−1(αikU(k)+ΔtβikL(U(k))),Un+1=U(m) U^{(i)} = \sum_{k=0}^{i-1} \left( \alpha_{ik} U^{(k)} + \Delta t \beta_{ik} L(U^{(k)}) \right), \quad U^{n+1} = U^{(m)}

    • 常用阶数：

      • 一阶（欧拉格式）：$ U^{n+1} = U^n + \Delta t L(U^n)$
      • 二阶：
        $ U^{(1)} = U^n + \Delta t L(U^n)$
        $ U^{n+1} = \frac{1}{2} (U^n + U^{(1)}) + \frac{1}{2} \Delta t L(U^{(1)})$
      • 三阶（TVD 格式）：
        $ U^{(1)} = U^n + \Delta t L(U^n)$
        $ U^{(2)} = U^n + \frac{1}{4} \Delta t L(U^n) + \frac{1}{4} \Delta t L(U^{(1)})$
        $ U^{n+1} = U^n + \frac{1}{6} \Delta t L(U^n) + \frac{1}{6} \Delta t L(U^{(1)}) + \frac{2}{3} \Delta t L(U^{(2)})$

  2. 近似因子分解法（AF 法）

    • 步骤：
      1. 线性化通量（Beam-Warming）：
        $ F^{n+1} \approx F^n + A^n \delta U^n，， G^{n+1} \approx G^n + B^n \delta U^n$
      2. 构造增量方程：
        $ [I + \theta \Delta t (D_x A^n + D_y B^n)] \delta U^n = -\Delta t (D_x F^n + D_y G^n)$
    • 特点：需迭代求解大型稀疏矩阵。

§7.4 差分方程组的数值解法

  1. 直接法

    • Gauss 消去法：计算量$ O(n^3/3)$，适合小规模问题。
    • LU 分解法：
      • 分解$ A = LU，解，解 Ly = b、、 Ux = y$。
      • 优点：可复用分解结果，保留矩阵稀疏性。
    • 追赶法：专用于三对角/五对角矩阵，计算量$ O(n)$.

  2. 迭代法

    • Jacobi 迭代：
      $ x_i^{k+1} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^k \right)$
    • Gauss-Seidel 迭代：
      $ x_i^{k+1} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j<i} a_{ij} x_j^{k+1} - \sum_{j>i} a_{ij} x_j^k \right)$
    • 松弛迭代法：引入松弛因子$ \omega$ 加速收敛。

  3. LU-SGS 方法

    • 思想：矩阵分裂$ A \approx (D + L) D^{-1} (D + U)$。
    • 步骤：
      1. 解下三角系统：$ (D + L)y = b$
      2. 解上三角系统：$ (D + U)x = D y$
    • 优点：高效、稳定性好，广泛用于定常流动。

  4. 双时间步方法

    • 思路：在真实时间步内嵌套虚拟时间迭代。
    • 格式：
      $ \frac{U^{p+1} - U^p}{\Delta \tau} + \frac{3U^{p+1} - 4U^n + U^{n-1}}{2\Delta t} = L_{\Delta x}(U^{p+1})$
    • 应用：非定常流动的高效求解。

  5. 多重网格法

    • 原理：利用不同尺度网格消除不同频率误差分量。
    • 步骤：
      1. 细网格迭代，计算残差。
      2. 残差限制到粗网格。
      3. 粗网格求解误差。
      4. 误差插值回细网格修正解。·
    • 迭代方式：V 型、W 型循环。

  6. 预处理法

    • 目的：解决刚性问题（如不可压流模拟中矩阵条件数大）。
    • 方法：调整方程条件数，加速收敛。

案例与关键结论

  1. 污染物扩散案例：

    • 方程：$ \frac{\partial C}{\partial t} = \beta \left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \right)$
    • 显式 FTCS 推广：时间步过大导致发散（需$ r \leq \frac{1}{4}$）。

  2. 重要结论：

    • 显式格式：维数增加导致稳定性更严格（二维$ r \leq \frac{1}{4}，三维，三维 r \leq \frac{1}{6}$）。
    • 隐式格式：直接推广生成高维稀疏矩阵，需专用算法（如 ADI、算子分裂）。
    • 高效方法：LU-SGS（定常流）、双时间步（非定常流）、多重网格（加速收敛）。

知识框架总结：

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graph LR
A[多维问题差分方法] --> B[格式特点]
A --> C[求解算法]
A --> D[时间积分法]
A --> E[方程组解法]

B --> B1[显式推广-稳定性更严]
B --> B2[隐式推广-矩阵求解难]

C --> C1[算子分裂]
C --> C2[ADI格式]
C --> C3[跳点算法]

D --> D1[Runge-Kutta]
D --> D2[近似因子分解]

E --> E1[直接法-Gauss/LU/追赶]
E --> E2[迭代法-Jacobi/GS]
E --> E3[LU-SGS]
E --> E4[双时间步]
E --> E5[多重网格]

以下是基于《第7章-多维问题的差分方法》讲义整理的适合出简答题、判断题和分析题的知识点，按题型分类归纳：

一、简答题知识点

  1. 显式格式的稳定性条件

    • 问题：为什么二维显式FTCS格式的稳定性条件（$ r \leq 1/4）比一维（）比一维（ r \leq 1/2$）更严格？
    • 答案：维数增加导致增长因子中的正弦项叠加（如$ \sin^2(k_1 \Delta x/2) + \sin^2(k_2 \Delta y/2)$），误差放大更快。

  2. ADI方法的核心思想

    • 问题：交替方向隐式（ADI）格式如何解决二维隐式差分矩阵的求解困难？
    • 答案：将时间步拆分为两半，交替在xx 和yy 方向隐式求解（如第一步隐式xx 显式yy，第二步隐式yy 显式xx），转化为两个三对角方程组。

  3. 双时间步方法的原理

    • 问题：双时间步方法如何提高非定常流动的计算效率？
    • 答案：在真实时间层内嵌套虚拟时间迭代，用隐式格式（如LU-SGS）处理刚性项，允许大时间步长。

  4. 多重网格法的加速机理

    • 问题：多重网格法为什么能加速迭代收敛？
    • 答案：不同频率的误差分量在不同尺度网格上衰减速度不同（粗网格消除低频误差，细网格消除高频误差）。

二、判断题知识点

  1. 稳定性条件

    • 命题：三维显式FTCS格式的稳定性条件是$ r \leq 1/4$。
    • 答案：错误（正确应为$ r \leq 1/6$）。

  2. 隐式格式特性

    • 命题：二维Crank-Nicolson格式直接推广后无条件稳定，且易于求解。
    • 答案：错误（无条件稳定但生成五对角矩阵，直接求解困难）。

  3. 跳点算法

    • 命题：跳点算法通过奇偶网格交替更新，其稳定性与显式格式相同。
    • 答案：错误（跳点算法无条件稳定，显式格式有条件稳定）。

  4. LU-SGS方法

    • 命题：LU-SGS是一种显式时间推进方法。
    • 答案：错误（是隐式方法，通过矩阵分裂高效求解）。

  5. Runge-Kutta法

    • 命题：所有三阶Runge-Kutta格式均满足TVD性质。
    • 答案：错误（仅特定系数组合如TVD-RK3满足）。

三、分析题知识点

  1. 显式与隐式格式对比

    • 问题：分析显式和隐式格式在多维问题中的优缺点及适用场景。
    • 分析要点：
      • 显式：简单但Δt\Delta t 小（稳定性严），适合小规模问题。
      • 隐式：Δt\Delta t 大但求解复杂（需迭代/分裂），适合高维刚性系统。

  2. ADI格式的误差来源

    • 问题：从P-R格式的修正方程（Page 25）分析其截断误差阶数。
    • 分析要点：
      • 修正项含$ \frac{\beta^2 \Delta t^2}{4\Delta x^4} \delta_x^2 \delta_y^2，但整体仍为，但整体仍为 O(\Delta t^2, \Delta x^2)$。

  3. 多重网格的误差衰减

    • 问题：结合Fourier分析（Page 71-72），解释为何粗网格能加速低频误差衰减。
    • 分析要点：
      • 低频误差在细网格上衰减慢（$ |G| \approx 1），在粗网格上转为高频（），在粗网格上转为高频（ |G| \approx 0.33$），衰减更快。

  4. 算子分裂的精度损失

    • 问题：算子分裂算法为何可能降低精度？如何改进？
    • 分析要点：
      • 分裂误差源于非交换性算子（如$ L_x L_y \neq L_y L_x$）；
      • 改进：采用Strang分裂（半步长对称分裂）。

四、综合应用题

案例：二维污染物扩散问题

  • 方程：
    ∂C∂t=β(∂2C∂x2+∂2C∂y2),β=8.5×10−4m2/min \frac{\partial C}{\partial t} = \beta \left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \right), \quad \beta = 8.5 \times 10^{-4} \text{m}^2/\text{min}

  • 边界条件：

    • 排污口（左下角）：$ C(t,0,0)=20.0$
    • 右/上边界：零梯度边界。

问题：

  1. 若用显式FTCS计算，取$ \Delta x = \Delta y = 1 \text{m}，求最大允许，求最大允许 \Delta t$。
  2. 计算结果发散（Page 6），分析原因。
  3. 提出两种改进算法并说明优势。

参考答案：

  1. 稳定性条件：
    r=βΔtΔx2≤14  ⟹  Δt≤14×8.5×10−4≈294.1min r = \beta \frac{\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{4} \implies \Delta t \leq \frac{1}{4 \times 8.5 \times 10^{-4}} \approx 294.1 \text{min}

  2. 发散原因：实际$ \Delta t$ 过大（如取1000步），违反$ r \leq 1/4$。

  3. 改进方案：

    • ADI格式：无条件稳定，允许大$ \Delta t$；
    • 跳点算法：无条件稳定且易于并行。

CH08 数值网格生成技术

§8.1 网格技术概述

  1. 网格与CFD的关系
    • 网格生成占CFD总耗时的60%-80%，是影响计算精度和收敛性的关键因素。
    • 复杂外形网格生成是CFD推广的主要障碍。
  2. 网格分类
    • 结构网格：
      • 数据按数组索引（i,j,k）存储，索引高效。
      • 优点：计算精度高、贴体性好；缺点：复杂外形生成困难。
      • 退化形式：二维三角形、三维五面体。
    • 非结构网格：
      • 基本单元：二维三角形、三维四面体。
      • 优点：适应复杂外形、支持自适应加密；缺点：内存和计算开销大、数据结构复杂。
    • 混合网格：
      • 结合结构与非结构网格优势（如金字塔形、三棱柱网格）。
  3. 流场计算对网格的要求
    • 结构网格：物理空间到计算空间的映射需一一对应；网格线接近流线；满足正交性。
    • 共同要求：网格变化连续；流动参数剧烈区域需加密网格。

§8.2 结构网格生成

  1. 贴体坐标系

    • 物面条件处理方便，控制方程通过坐标变换转化为规则区域求解。

    • 二维变换公式：
      ∂∂t(UJ)+∂∂ξ(F~J)+∂∂η(G~J)=0 \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{U}{J} \right) + \frac{\partial}{\partial \xi} \left( \frac{\tilde{F}}{J} \right) + \frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{\tilde{G}}{J} \right) = 0
      其中F~=Fξx+Gξy\tilde{F} = F \xi_x + G \xi_y，G~=Fηx+Gηy\tilde{G} = F \eta_x + G \eta_y，JJ 为雅可比行列式。

  2. 物理空间到计算空间的映射

    • 单连域：区域内任意封闭曲线可连续收缩至一点。
    • 多连域：采用"H型"或"C型"网格拓扑（如翼身组合体）。

  3. 生成方法

    • 代数生成法：
      • 插值函数（Lagrange/Hermite/样条函数）快速生成，但网格质量难控制。
    • 椭圆型方程法：
      • 控制方程：Axξξ−2Bxξη+Cxηη=0A x_{\xi\xi} - 2B x_{\xi\eta} + C x_{\eta\eta} = 0（椭圆型）。
      • 通过源项P,QP, Q 控制网格疏密（如向特定ξ1\xi_1 加密）。
      • 优点：映射一一对应、光滑性好；缺点：计算量大。
    • 双曲型方程法：
      • 正交条件：r⃗ξ⋅r⃗η=0\vec{r}_\xi \cdot \vec{r}_\eta = 0，面积分布函数H(ξ,η)H(\xi,\eta)。
      • 比椭圆法快1-2个量级，需沿方向推进求解。

  4. 多区技术

    • 拼接网格（Patched Grid）：通量守恒性好，连接处理复杂。
    • 重叠网格（Overlapped Grid）：适于多体相对运动，但通量守恒性难保证。

§8.3 非结构网格生成

  1. 基本方法

    • 用简单几何体（三角形/四面体）填充计算域。

  2. 核心算法

    • Delaunay方法：
      • 准则：三角形外接圆内无其他节点。
      • 优点：网格质量高（最小角最大化）、效率高；缺点：三维可靠性低。
      • 关键步骤：Lawson算法（交换对角边）、Bowyer-Watson算法（插入新点）。
    • 推进波前法：
      • 从边界阵面推进生成单元，优先选择质量最优（接近等边）的单元。
      • 优点：网格质量好；缺点：算法复杂度适中。
    • 有限叉树法：
      • 二维/三维：四叉树/八叉树细分，再划分为三角形/四面体。
      • 优点：易自适应；缺点：边界网格质量差。

  3. 方法对比

    性能 Delaunay 有限叉树法 推进波前法
    计算效率 O(N5/4)O(N^{5/4}) O(Nlog⁡N)O(N \log N) O(Nlog⁡N)O(N \log N)
    网格质量 2D优，3D差 边界差 2D/3D均优
    自适应支持 是 是 是
    可靠性（3D） 低 中 高

§8.4 特殊网格方法

  1. 混合网格：
    • 近壁面用结构网格，远场用笛卡尔网格（结合精度与效率）。
  2. 多区重叠网格：
    • 不同区域用独立求解器（如机身用FUN3D非结构网格，旋翼用OVERFLOW结构网格）。
  3. 网格自适应技术：
    • 基于流场梯度（如压力、马赫数）动态加密网格。
  4. 网格变形技术：
    • 用于运动边界问题（如气动弹性分析）。

§8.5 网格生成软件

  1. 主流软件：
    • Pointwise：
      • 支持结构/非结构网格，操作流程：几何导入→生成Connector→Domain→Block→导出。
    • ICEM CFD：
      • 优势：多区结构网格生成，文件类型：.tin（几何）、.blk（块拓扑）、.uns（网格）。
    • Hypermesh：侧重有限元前处理；Gambit：已被ICEM取代。
  2. 操作共性：
    • 几何导入→网格尺寸设置→生成/优化网格→边界条件定义→导出求解器格式。

§8.6 几何守恒律（GCL）

  1. 核心问题：
    • 动网格变换需满足：∂∂τ(QJ)=0\frac{\partial}{\partial \tau} \left( \frac{Q}{J} \right) = 0（无物理源项时保证解守恒）。
  2. 物理意义：
    • 雅可比行列式J−1J^{-1} 表示网格控制体积，度量系数对应有向面积。
  3. 重要性：
    • 高精度格式需满足GCL以避免几何诱导误差（如涡输运、激波捕捉问题）。

关键结论

  • 网格选择：简单外形优选结构网格；复杂外形用非结构/混合网格。
  • 方法趋势：推进波前法（质量优）、Delaunay法（效率高）是主流。
  • 软件应用：Pointwise/ICEM支持工业级复杂网格生成。
  • 守恒律：GCL是动网格高精度计算的基础。